理解进制转换的原理

准备写一篇关于浮点数存储的,然后先写了进制转换,越写越多,就单独作为一篇文章吧。

2019.723,这个数的二进制形式是什么样呢?让我们慢慢考虑。

数字的概念

首先思考一下数字是什么?为什么要有数字。

我有个苹果,你脑海中会出现个苹果。

我有个苹果,你脑海中会出现个苹果。

我有三十个苹果,你脑海中会出现三十个苹果。

我有一千个苹果,你可能想象不出来了。

数字的作用,就是让我们对一个东西的数量有一个更精确的认识。如果没有数字,我可能只能说我有一桌子苹果,我有一堆苹果,我有一大堆苹果,我有一大大堆苹果,这些都是感性的认知,每个人的认知可能是不一样的,而数字统一了我们对「量」的概念。

此外,另一个神奇的地方在于数字仅仅是「量」的概念,他没有限制去描述什么。

比如说五个苹果,五只小狗,五头牛,五粒大米,数量都是五,但他们的体积、质量、形状都和他们本身有关了。

数字的记录

后来人类发明了纸笔,如果把这个「量」的概念写下来该怎么办呢?

最简单的想法就是画竖线,每增加一个,就加一条竖线。

1 -> I

2 -> II

3 -> III

4 -> IIII

5 -> IIIII

20 -> ???

如果数字大了,一直画竖线显然是不现实的,在出土的甲骨文中发现了当时人们对数字的认识。

一些大的数字用一些特定的符号来表示,这样如果表示 108 的话,我们只需要画出这两个图形就可以了。

顺序无所谓,另一个人可能画出的是下边的

即使顺序不一样,但他们表示的数字都是 108

进制的概念

上边的依旧不是很方便,比如我要是想表示 1000,如果我们只有 100 对应的符号,我还是需要画 10 个才行。接下来,人们用了一个更伟大的发明,进位制,也许因为人有 10 根手指,所以采用了 10 进制,其实就是我们现在的计数法。用0 - 9 十个符号就可以表示任意数字了。

这里边最伟大的发明就是0的概念了,它除了表示数量上的 0,也可以用来占位。从而数字在不同的位置有了不同的含义。拿十进制来举例,就是逢十进一。

得到个苹果,写个 1,得到个苹果,写个6,得到个苹果了,怎么表达这个数量呢,低位用0占位,高位写1就可以了。也就是10。此时的1不再是一,而是一个十。同理100,就表明有十个十的数量。此外再发明一个小数点,0.1,小数点右边的一表明是十分之一。

每个位置就有了不同的含义,可以看作下边的公式。e 是小数点后开始的数位。

$$…+a\times10^3+b\times10^2+c\times10^1+d\times10^0+e\times10^{-1}+f\times10^{-2}+g\times10^{-3}+…$$

a,b,c … 代表0 - 9中的任意一个符号,现在的数量是a1000,b 个 100,c 个 10……

比如2019.723就可以看成下边的样子

$$2\times10^3+0\times10^2+1\times10^1+9\times10^0+7\times10^{-1}+2\times10^{-2}+3\times10^{-3}$$

上边是十进制,让我们想一下 2 进制。

2 进制只有两个符号可以用,那就是01,规则是满2 就要进 1

如果有一个苹果那么就记做1,如果有两个苹果要利用0来占位,高位写1,也就是10,如果有四个苹果,那就用100来表示。

因为我们对十进制太熟悉了,如果我说「我考了100分」。大家第一反应就是我考的不错,但如果是在二进制的世界,100其实是一个蛮小的数字。

如果把二进制换两个符号,比如>来表示个苹果,<来表示零的概念,用来占位。我如果说我考了><<分,这样大家就没有条件反射觉得我考的很高了。

所以我们要明确一个概念,不同进制下,可能用了同一个符号,但对于同一个数量,那么表示法是不一样的。

看到这么多苹果,

商朝人可能会写下,我有| 二个苹果。

十进制的人们会写下,我有 12 个苹果。

二进制的人们会写下,我有 1100 个苹果。

可以看到对于同一个数量,大家的表示是不一样的,即使十进制和二进制的人们用了相同的符号01,但由于进制不同,他们写出来是不一样的。

有一天二进制的人和十进制的人相遇了,二进制的人说,我买了1100个苹果,然后对于十进制的人第一反应,哇,一千多个苹果,也太多了吧。

二进制的人们,看到1100立马脑海中联想到了上图的数量,但是对于十进制人们必须把这个数量转换成自己熟悉的十进制表示,才可以在脑海里想象1100个苹果的数量是多少。那么怎么转换呢?

二进制转十进制

让我们从十进制的角度去看一下二进制,二进制是满二进一,所以他的每一位的权重其实是以 2 为权重的,就是下边的样子。

$$…+a\times2^3+b\times2^2+c\times2^1+d\times2^0+e\times2^{-1}+f\times2^{-2}+g\times2^{-3}+…$$

a,b,c … 代表01中的一个,现在的数量是 a 个 8,b 个 4,c 个 2 ……

所以1100如果用十进制表示,就是 1 个 8 加上 1 个 4,也就是12了。这样的话,我们就可以理解他买了多少苹果了。

十进制转二进制

那么十进制怎么转换成二进制呢?最开始的问题,怎么用二进制去表示 2019.723

整数的转换

其实这就是数学上的问题了,首先我们考虑整数部分2019。根据前边二进制转十进制的公式,我们知道可以有下边的等式。

$$…a\times2^4+b\times2^3+c\times2^2+d\times2^1+e\times2^0=2019$$

两边如果同时除以 2 会发生什么呢,

$$…a\times2^3+b\times2^2+c\times2^1+d\times2^0+e/2=2018/2+1/2$$

可以看到系数是 a,b,c,d的部分都整除了,只剩下 e/2

右边的话,把2019分成两部分20181。然后就是$2018/2$和$1/2$两部分。

左边也看做$…a\times2^3+b\times2^2+c\times2^1+d\times2^0$和$e/2$两部分。

左右两部分对应相等。

右边的部分。

$$e/2==1/2$$

所以算出了 $e=1$。

再看左边的部分。

$$…a\times2^3+b\times2^2+c\times2^1+d\times2^0=2018/2=1009$$

我们可以两边继续同时除以2,就可以求出d。同理就可以求出a,b,c以及更多的系数。

再来回想一下我们的方法,两边同时除以2,然后被分成$2018/2$和$1/2$两部分,其实左边就是商,右边是余数。2018/2=1009······1,对应等式左边的部分,e 其实就等于余数。

所以转换的方法就是用2019除以2,余数作为二进制的低位。商作为新的除数,继续除以2,余数作为二进制的低位…直到商为 0。

因为我们每次求出的都是二进制对应的低位,书写的话习惯于先写高位,所以倒着写过来 11111100011就是2019的二进制形式了。

写成代码的形式。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
public static List<Integer> integerTrans(int n) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
while (n != 0) {
list.add(n % 2);
n /= 2;
}
for (int i = list.size() - 1; i >= 0; i--) {
System.out.print(list.get(i));
}
return list;
}

小数的转换

考虑完整数,再来想一下小数0.723怎么处理。同样的,利用二进制转十进制的公式,写出下边的等式。

$$e\times2^{-1}+f\times2^{-2}+g\times2^{-3}+…=0.723$$

之前同时是利用两边同时除以2,对于上边的等式肯定不行了。换一下,两边同时乘以2呢?看看会发生什么。

$$e\times2^{0}+f\times2^{-1}+g\times2^{-2}+…=0.723\times2$$

和之前一样,把两边分别分成两部分。

$$e+f\times2^{-1}+g\times2^{-2}+…=1+0.446$$

两部分分别对应相等,可以知道

$$e==1$$

另外一部分的话

$$f\times2^{-1}+g\times2^{-2}+…=0.446$$

我们继续同时乘以2,变成下边的样子。

$$f+g\times2^{-1}+…=0 + 0.892$$

这样又可以求出$f=0$,同样的一直不停的继续下去,直到得到的新的小数部分是0

所以我们的算法就是不停的乘2取整数部分,有可能得到的新的数永远不等于 0,这就取决于我们需要的精度了,可以随时停止。

小数的话正着写出来就可以了,0.1011就是十进制0.723的近似值了。

所以十进制小数转成二进制并不会像十进制整数那么顺利。原因的话,因为二进制小数它的权重依次是0.5,0.25,0.125…,所以只有这些数的任意相加才能被精确表示。大部分的十进制小数都不能精确的用二进制表示。

甚至看起来最简单的0.1如果转成二进制,会是什么样呢?

可以看到计算过程中,出现了循环,0.4,0.8,0.6,0.2会循环出现,所以0.1的二进制表示就是0.0 0011 0011 0011...是一个无限循环小数了。它就相当于我们十进制中的1/3,写成小数形式是0.3333333...

用代码表示一下,我们只保留 10 位小数。

1
2
3
4
5
6
7
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9
10
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13
14
public static List<Integer> decimalTrans(double n) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
int count = 10;
while (count > 0) {
n = n * 2;
list.add((int) (n));
n = n - (int) (n);
count--;
}
for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
System.out.print(list.get(i));
}
return list;
}

历史的发展

可以看一下现实生活中数字的发展,引自维基百科。

无位值十进制

  • 古埃及十进制:以一个竖道代表1,二并排竖道代表2,三竖道代表3,一横道代表4,左二撇右竖道代表5,上三撇下三撇代表6,上下两道代表8,四个(并排代表9,一个“人”字形代表10,“人”上加一横代表20,20左加一点代表30,横道上加一点代表40,横道上加三竖道(如中国筹算的8)代表60,横道上加四竖道代表80(形同中国筹算中的9)代表80,两横道上加三竖代表90……。
  • 古希腊十进制,1至9,10至90,100至900各有不同的单字母代表。
  • 古印度Kharosshi十进制,以一个竖道代表1,二并排竖道代表2,三竖道代表3,一个X代表4,IX代表5,||X代表6,XX代表8,10,20个有单字符代表。
  • 古印度和Brahmi十进制,和希腊十进制相似,1至9,10至90,100至900各有不同的单字母代表。符号很多。

非十进的进位制

  • 巴比伦60进位制:以一个上大下小的楔形代表1,两个并列楔形代表2,三个并列楔形代表3,上二个楔形下二个楔形代表4,上三楔下二楔代表5,上三楔下三楔代表6,上四楔下三楔代表7,上四楔下四楔代表8,上五楔下四楔代表9;一个左小右大横楔代10,两个横楔并排代表20,三个横楔并排代表30,四个横楔并排代表40。
  • 玛雅20进位制:以一个点代表1,两个点并列代表2,三点并列代表3,四点并列代表4,短横线代表5,横线上加一点代表6,横线上加二点代表7,横线上加三点代表8,横线上加四点代表9;上下两横线代表10,上下两横线之上加一点代表11,三重叠横线代表15,三横线上加一,二,三点代表16,17,18;小椭圆圈上加一点代表20。

十进位制

  • 中国古代的十进制有书写式和算筹两种型式。
  • 印度-阿拉伯十进位制。

结束

不得不感慨下人类的聪明,将量的概念抽象出来,不同地区的独立发展,最后又是那么的相像。所以数字,其实就是符号对数量的映射,并且人们达成了共识。

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