趣谈计算机补码

小亮:小杨呀,考你个问题。

小杨:我不听,我不听,我不听。

小亮:非常有意思的,你听听。你说如果给你一个计算器,但只能算加法,那你减法该怎么办呀?

小杨:这么神奇的吗,你难道有方法?

小亮:其实原理很简单的,日常生活中我们其实一直都有用到的,你看一下现在闹钟几点了?

小杨:8 点!

小亮:那 3 小时前是几点呢?

小杨:8 - 3 = 5,5 点!

小亮:那 9 小时以后呢?

小杨:嗯嗯,你等等,一五得五,二五一十,五一劳动节,8 + 9 - 12 = 5,还是 5 点!

小亮:你为什么减去了一个 12 呀?

小杨:小学老师这样教我的呀,至于为什么?Emmmm,因为总共只有 12 个数呀!

小亮:就是这里,你完成了一个伟大的操作!模运算。你进行了模 12 操作,还有一个关键点,总共只有 12 个数!

小杨:我是不是很厉害,嘻嘻嘻,但是…然后呢?

小亮:你想一想,8 - 3 和 8 + 9 的结果是一样的,而最开始我给你的计算器只能进行加法操作,所以再进一步,把 8 - 3 当做 8 + (- 3),它和 8 + 9 的结果一致,所以…

小杨:所以我们用 9 去表示 -3,然后如果想计算减法 8 - 3,就直接在计算器上输 8 + 9,就可以得到正确结果了!

小亮:bingo!但你忘了一个前提,就是计算器必须只能存 12 个数,它会自动进行取模操作。还有一个事,现在是 8 点,4 小时后呢?

小杨:8 + 4 = 12,12 点!

小亮:咦?你为什么不进行取模了,你看之前还多减了一个 12 呢?为了统一操作,我们每次都进行取模吧,12 - 12 = 0,这样也比较符合取模的含义,这样对 12 取模,意味着我们数的范围就是 0 到 11 了。

小杨:好的,好的,我知道了,我现在只知道了 -3 可以用 9 表示,那我们想算 8 - 5 呢?-5 用多少表示呢?

小亮:你自己拨动下表针看看,5 小时前和几小时后是等价的呢?

小杨:我看看,7 点!算 8 - 5 的话,用 8 + 7 就可以了。好了,其他的我也知道了,来,我给你画张表。

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11
0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

小亮:哇,你是怎么把这个表列出来的?

小杨:因为是模 12 ,所以 1+ 11 = 0,1 - 1 = 0,所以 -1 用 11 代替,2 + 10 等于 0,2 - 2 = 0,-2 用 10 代替,其他也是这样的。

小亮:棒棒棒,那现在计算会有一个问题的,之前的 8 - 3,8 - 5,结果都是正的,没有问题。那如果,3 - 5 呢?

小杨:3 - 5,-5 对应 7,那就是 3 + 7 等于 10 ,看上边的表格,10 对应 -2,所以答案是 -2!骗子!明明没有问题!

小亮:那你 5 - 3 呢??? -3 对应 9,5 + 9 = 2,看下上边的表格,这时候你咋不进行 2 对应 -10 了。

小杨:因为我知道 5 - 3 是正的,3 - 5 是负的,嘻嘻嘻。

小亮:所以这就是问题所在了,既然要让计算器算,它肯定不知道是正的还是负的,所以这样肯定不行的。我们不能把每一个正数都对应一个负数,你看看下边这个表。

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5 4 3 2 1
0 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

小杨:3 - 5 和之前一样,-5 对应 7,那就是 3 + 7 等于 10 ,10 对应 -2,然后的话,5 - 3 = 2,-3 对应 9,5 + 9 = 2,2 对应 2,哇!这次没有问题了。

小亮:是的,这次我们只是用一部分正数表示了负数,另一部分保持不变。每一个数都有了一个对应关系,9 不再是 9 了,它其实是 -3。但这有个缺点,给你一个数,你并不能立刻知道它代表几,只能去查表才会知道。

小杨:对呀,我用的计算机能算的数的范围非常大呀,它内部不会也有这样一个表格吧。

小亮:不不不,它实现了一种转换关系,给定一个数立马知道它代表的几。

小杨:那会不会很复杂呀,我想听听。

小亮:其实和那个钟表是一个意思的,计算机里寄存器存的位数是固定的,就像表盘的数是固定的。表盘里,11 点过 1 个小时后,就变成了 0 点,因为是进行的模 12 操作。如果寄存器只能存 4 位数字,那就总共可以表示 16 个数字,那么 15 再加 1 的话就变成了 0,那么怎么实现减法…

小杨:我懂了,一样的道理,用一部分数字来表示负数就可以了!

小亮:聪明!因为计算机里是都是用 2 进制存储的,我们来看看这些数字都长什么样子。

0000 0 1000 8
0001 1 1001 9
0010 2 1010 10
0011 3 1011 11
0100 4 1100 12
0101 5 1101 13
0110 6 1110 14
0111 7 1111 15

小杨:那我来分一下吧!

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7
0 1 2 3 4 5 6 7
1000 8 1001 9 1010 10 1011 11 1100 12 1101 13 1110 14 1111 15
8 9 -6 -5 -4 -3 -2 -1

让我来算一个减法,7 - 4 = 7 + 12 模 16 = 3!哇,成功了!

小亮:等等,你为什么搞了 8 个正数,只搞了 6 个负数呀。

小杨:因为我喜欢!

小亮:那这样又回到之前的问题了,如果我问 8 代表的正数还是负数?你是不是还是只能查表呀。

小杨:对哦,那该怎么分呀。

小亮:很自然呀,你看上边表格的二进制部分,最高位是不是有的是 0 ,有的是 1,我们把最高位是 1 的正数来表示负数,最高位是 0 的数表示正数,是不是就可以了。

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7
0 1 2 3 4 5 6 7
1000 8 1001 9 1010 10 1011 11 1100 12 1101 13 1110 14 1111 15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

小杨:对呀,这样的话,给我一个数,我就知道它是负的还是正的了,比如 13,二进制是 1101,开头是 1,那它代表的一定是一个负数。那开始你说可以直接知道它代表的是几,该怎么算呢?

小亮:嗯嗯,你想一想,你得出表格的时候是怎么操作的呢?首先二进制开头是 0 的,它是几就代表几,就不讨论了。负数的话,你为什么用 12 表示 -4 呢?

小杨:因为现在是模 16 的,所以两数和如果是 16 的话,就会变成 0。12 + 4 = 16 = 0,-4 + 4 = 0,所以 12 可以代替 -4。

小亮:所以如果给你一个数,如果是二进制开头是 1,我们先确定它是一个负数,至于是负几,我们直接用 16 减它就够了!如果给你 13,我们看一下二进制是多少,1101,开头是 1 所以它是负数,负几呢?16 - 13 = 3,所以 13 代表 -3,看下上边的表格,是不是对的?

小杨:等等,这个我一直知道呀,之前表盘的时候我就是这样算的呀。16 - 13,我们是为了用加法表示减法,这怎么又出来减法了。

小亮:到了见证奇迹的时候了!让我们用二进制的形式看一下,16 - 13 = 1 0000 - 1101 = (1 + 1111) - 1101 = (1111 - 1101)+ 1 = 0010 + 1 = 0011 = 3。

小杨:哪里奇迹了,1111 - 1101,这不又出现减法了。

小亮:不不不,这步不用减法,只需要把 1101 按位取反就够了,也就是 0010!

小杨:神奇!所以我来总结下,给我们一个数,如果二进制开头是 0,那就不管了,它是几就是几。如果开头是 1,那它代表负数,负几呢?按位取反,再加一就够了!但还有个问题,现在给我一个数我只能它代表几,但反过来,给我一个数,我怎么知道用几去代表它呢?如果给我 -3,我们用多少代表它呢?

小亮:是同样的道理,13 + 3 = 16 = 0,-3 + 3 = 0,所以用 13 代表 -3。所以算的话,还是用 16 去减这个数,所以同样的推导,最后的结论是一样的,按位取反,末位加 1,-3 的话,根据推导我们是用 16 减去的 3,所以用 3 对应的 2 进制 0011,按位取反,1100,末位加一,1101,所以 -3 就用 1101 表示。

小杨:哇,懂了懂了,这样完美的把加法和减法统一了,只不过计算前进行数字的转换就够了。

小亮:对的,其实这就是补码,计算机中所有的整数都用补码存储,这样算减法用加法器就足够了。举个例子,3 的补码是 3 不变,也就是 0011,-4 的补码,4 的二进制按位取反末位加 1,也就是 0100 变成 1011,再加 1 变成 1100,所以算 3 - 4 = 3 + (-4)= 0011 + 1100 = 1111,1111 代表多少呢?首先肯定代表一个负数,然后按位取反末位加 1,就是 0001 了,所以结果就是 -1。

小杨:我明白了,只要学会把一个数转成补码,然后补码再还原就够了,而且两个转换的方法还一样,按位取反,末位加 1,很清晰了。

小亮:让我们回到真正的计算机里, 我们知道 int 一般情况是 4 个字节,也就是 32 位,一样的道理,我们把最高位是 0 的代表正数,最高位是 1 的代表负数,所以最大的正数就是 0111 1111 … 1111 1111,这个数代表多少呢?

小杨:这个我知道,为了方便计算,先把它加 1,变成 1000 0000 … 0000 0000,这个是 $$2^{31}$$,也就是 2147483648,然后减 1,就是 2147483647。

小亮:那最大负数呢?

小杨:最大负数的话,因为 1 开头代表负数,然后其他部分当然越小越好,所以就是 1000 0000 … 0000 0000,那它代表多少呢?直接套用公式,按位取反,末位加一,变成 1000 0000 … 0000 0000,它竟然又变了回来,之前算了这个数是 $$2^{31}$$,也就是 2147483648,所以它代表 -2147483648,咦,怎么感觉负数比正数多了一个,没有对称呀?

小亮:你想一下呀,0 开头的数和 1 开头的数,个数是不是一样的,但是 0 开头的数包括了 0,所以正数就少了一个咯。顺便再问你个问题,最小的负数是 -2147483648,那 -2147483648 - 1 是多少呢?

小杨:-2147483649!!哈哈,开个玩笑,我知道你是问我计算机里边的情况。我来算一下,-2147483648 的补码是 1000 0000 … 0000 0000,-1 的补码是把 1 按位取反末位加 1,就是 1111 1111 … 1111 1111,然后把这两个数加起来就是 0111 1111 … 1111 1111,这不是那个最大的正数吗,所以 -2147483648 - 1 是 2147483647!

小亮:感觉你出师了呀,竟然没中套。这其实也很好理解对不对

0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7
0 1 2 3 4 5 6 7
1000 8 1001 9 1010 10 1011 11 1100 12 1101 13 1110 14 1111 15
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

看上边的表格,这个只有 4 位,所以最大的数是 7,最小的数是 -8。上边的 7 后边是 -8 了,所以 -8 减 1,也就是 -8 前边那个数当然就是 7 了。

小杨:其实这个表格化成圆其实更好理解了,就像表盘一样,哈哈。

小亮:对的,总结一下,其实我们利用了寄存器存的位数是有限的,所以它到达最大的数以后会自动置零,相当于完成了取模操作,就像钟表一样,到了 11 点,之后又会从 0 点开始。然后我们再定义用哪些数表示正数,哪些数表示负数,从而完成了加法和减法的统一。并且做到了给一个数知道它的补码表示,知道补码,也可以算出它代表几。

小杨:那计算机设计补码的时候就是这样想的吗?

小亮:这我就不知道了,但可能和我想的一样?哈哈哈。最后留给你一个题,不用乘法除法也不用减法怎么求一个数的相反数呢? -2147483648 * (-1)等于多少呢?

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